Тригонометрия Примеры

$\cot (\frac{7 π}{12})$

Этап 1

Заменим $\cot (\frac{7 π}{12})$ на эквивалентное выражение $\frac{1}{\tan (\frac{7 π}{12})}$ , используя фундаментальные тождества.

$\frac{1}{\tan (\frac{7 π}{12})}$

Этап 2

Используем в знаменателе формулу суммы или разностную формулу.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Сначала представим угол в виде суммы двух углов, для которых известны значения тригонометрических функций. В этом случае $\frac{7 π}{12}$ можно разделить на $\frac{π}{4} + \frac{π}{3}$ .

$\frac{1}{\tan (\frac{π}{4} + \frac{π}{3})}$

Этап 2.2

Используем формулу тангенса суммы, чтобы упростить выражение. Формула имеет вид: $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ .

$\frac{1}{\frac{\tan (\frac{π}{4}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Этап 2.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Этап 2.3.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{3})}}$

Этап 2.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{4})$ : $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot (1 \tan (\frac{π}{3}))}}$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \tan (\frac{π}{3})}}$

Этап 2.4.3

Точное значение $\tan (\frac{π}{3})$ : $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - 1 \sqrt{3}}}$

Этап 2.4.4

Перепишем $- 1 \sqrt{3}$ в виде $- \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}}$

Этап 2.5

Умножим $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ на $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}}$

Этап 2.6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}}$ на $\frac{1 + \sqrt{3}}{1 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{(1 - \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}}$

Этап 2.6.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{1 + \sqrt{3} - \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}}$

Этап 2.6.3

Упростим.

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Возведем $1 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.7.2

Возведем $1 + \sqrt{3}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.7.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{1 + 1}}{- 2}}$

Этап 2.7.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{- 2}}$

Этап 2.8

Перепишем ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ в виде $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.9

Развернем $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.9.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.9.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.10.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.2

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.3

Умножим $\sqrt{3}$ на $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.4

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.5

Умножим $3$ на $3$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.6

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{- 2}}$

Этап 2.10.1.7

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$\frac{1}{\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{- 2}}$

Этап 2.10.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{1}{\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.10.3

Добавим $\sqrt{3}$ и $\sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.11

Сократим общий множитель $4 + 2 \sqrt{3}$ и $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 \sqrt{3}}{- 2}}$

Этап 2.11.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2) + 2 (\sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.11.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2) + 2 (\sqrt{3})$ .

$\frac{1}{\frac{2 (2 + \sqrt{3})}{- 2}}$

Этап 2.11.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 + \sqrt{3}}{- 1}$ .

$\frac{1}{- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})}$

Этап 2.12

Перепишем $- 1 \cdot (2 + \sqrt{3})$ в виде $- (2 + \sqrt{3})$ .

$\frac{1}{- (2 + \sqrt{3})}$

Этап 2.13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{- 1 \cdot 2 - \sqrt{3}}$

Этап 2.14

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{- 2 - \sqrt{3}}$ на $\frac{- 2 + \sqrt{3}}{- 2 + \sqrt{3}}$ .

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{(- 2 - \sqrt{3}) (- 2 + \sqrt{3})}$

Этап 3.3

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{3}}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим.

$\frac{- 2 + \sqrt{3}}{1}$

Этап 3.5

Разделим $- 2 + \sqrt{3}$ на $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- 2 + \sqrt{3}$

Десятичная форма:

$- 0.26794919 \dots$