Тригонометрия Примеры

$2 \sin (15) \cos (15)$

Этап 1

Дополнение $2 \sin (15) \cos (15)$ — это угол, который в сумме с $2 \sin (15) \cos (15)$ составляет прямой угол ( $90 °$ ).

$90 ° - 2 \sin (15) \cos (15)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Точное значение $\sin (15)$ : $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

Этап 2.1.2

Выделим отрицательную часть.

Этап 2.1.3

Применим формулу для разности углов.

Этап 2.1.4

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Этап 2.1.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Этап 2.1.6

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Этап 2.1.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

Этап 2.1.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Этап 2.1.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

Этап 2.1.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

Этап 2.1.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

Этап 2.1.8.1.2

Умножим $- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.8.1.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Этап 2.1.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

Этап 2.1.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

Этап 2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

Этап 2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель.

Этап 2.2.4

Перепишем это выражение.

Этап 2.3

Перепишем $- 1 \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ в виде $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Этап 2.4

Точное значение $\cos (15)$ : $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Разделим $15$ на два угла, для которых известны значения шести тригонометрических функций.

Этап 2.4.2

Выделим отрицательную часть.

Этап 2.4.3

Применим формулу для разности углов $\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

Этап 2.4.4

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Этап 2.4.5

Точное значение $\cos (30)$ : $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Этап 2.4.6

Точное значение $\sin (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Этап 2.4.7

Точное значение $\sin (30)$ : $\frac{1}{2}$ .

Этап 2.4.8

Упростим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1.1.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Этап 2.4.8.1.1.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

Этап 2.4.8.1.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

Этап 2.4.8.1.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

Этап 2.4.8.1.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.8.1.2.1

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $\frac{1}{2}$ .

Этап 2.4.8.1.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

Этап 2.4.8.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$90 - \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4 °}$

Этап 2.5

Умножим $- \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ на $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{2}$ .

Этап 2.5.2

Умножим $4$ на $2$ .

$90 - \frac{(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Развернем $(\sqrt{6} + \sqrt{2}) (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$90 - \frac{\sqrt{6} (\sqrt{6} - \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} (\sqrt{6} - \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$90 - \frac{\sqrt{6} \sqrt{6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$90 - \frac{\sqrt{6 \cdot 6} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.2

Умножим $6$ на $6$ .

$90 - \frac{\sqrt{36} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.3

Перепишем $36$ в виде $6^{2}$ .

$90 - \frac{\sqrt{6^{2}} + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.4

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$90 - \frac{6 + \sqrt{6} (- \sqrt{2}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.5

Умножим $\sqrt{6} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.5.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$90 - \frac{6 - \sqrt{6 \cdot 2} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.5.2

Умножим $6$ на $2$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{12} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.6

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.6.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$90 - \frac{6 - \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$90 - \frac{6 - (2 \sqrt{3}) + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.8

Умножим $2$ на $- 1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.9

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2 \cdot 6} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.10

Умножим $2$ на $6$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{12} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.11

Перепишем $12$ в виде $2^{2} \cdot 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.11.1

Вынесем множитель $4$ из $12$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{4 (3)} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.11.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + \sqrt{2^{2} \cdot 3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.12

Вынесем члены из-под знака корня.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} + \sqrt{2} (- \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.13

Умножим $\sqrt{2} (- \sqrt{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.13.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.13.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - (\sqrt{2} \sqrt{2})}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.13.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.13.4

Добавим $1$ и $1$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {\sqrt{2}}^{2}}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.14

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.14.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.14.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.14.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.14.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1.14.4.1

Сократим общий множитель.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2^{\frac{2}{2}}}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.14.4.2

Перепишем это выражение.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.14.5

Найдем экспоненту.

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 1 \cdot 2}{8 °}$

Этап 2.6.2.1.15

Умножим $- 1$ на $2$ .

$90 - \frac{6 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} - 2}{8 °}$

Этап 2.6.2.2

Вычтем $2$ из $6$ .

$90 - \frac{4 - 2 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3}}{8 °}$

Этап 2.6.2.3

Добавим $- 2 \sqrt{3}$ и $2 \sqrt{3}$ .

$90 - \frac{4 + 0}{8 °}$

Этап 2.6.2.4

Добавим $4$ и $0$ .

$90 - \frac{4}{8 °}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $4$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$90 - \frac{4 (1)}{8 °}$

Этап 2.7.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

Этап 2.7.2.2

Сократим общий множитель.

Этап 2.7.2.3

Перепишем это выражение.

$90 - \frac{1}{2 °}$

Этап 3

Чтобы записать $90$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$90 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Этап 4

Объединим $90$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{90 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 °}$

Этап 5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{90 \cdot 2 - 1}{2 °}$

Этап 6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $90$ на $2$ .

$\frac{180 - 1}{2 °}$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из $180$ .

$\frac{179}{2 °}$