Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} = 2 \sec (t)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 + \sin (t)) \cos (t)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)}$ на $\frac{\cos (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{(1 + \sin (t)) \cos (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)}$ на $\frac{1 + \sin (t)}{1 + \sin (t)}$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{(1 + \sin (t)) \cos (t)} + \frac{(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 + \sin (t)) \cos (t)$ .

$\frac{\cos (t) \cos (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))} + \frac{(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (t) \cos (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\cos (t) \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.1.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (t) \cos^{1} (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (t)}^{1 + 1} + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + (1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.2

Развернем $(1 + \sin (t)) (1 + \sin (t))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 (1 + \sin (t)) + \sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 \cdot 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + 1 \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.3.1.2

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) \cdot 1 + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.3.1.3

Умножим $\sin (t)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.3.1.4

Умножим $\sin (t) \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.3.1.4.2

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + \sin (t) + \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.3.2

Добавим $\sin (t)$ и $\sin (t)$ .

$\frac{\cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.4

Перепишем $\cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Перегруппируем члены.

$\frac{\cos^{2} (t) + \sin^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.4.2

Переставляем члены.

$\frac{\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.4.3

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 + 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.4.5

Вынесем множитель $2$ из $2 + 2 \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.5.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \sin (t)}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.5.4.5.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot 1 + 2 \sin (t)$ .

$\frac{2 (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $1 + \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (1 + \sin (t))}{\cos (t) (1 + \sin (t))}$

Этап 2.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{\cos (t)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{2}{\cos (t)}$ в виде $2 \sec (t)$ .

$2 \sec (t)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (t)}{1 + \sin (t)} + \frac{1 + \sin (t)}{\cos (t)} = 2 \sec (t)$ — тождество