Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\cot (x) - \cos (x)}$

Этап 2.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 3

Запишем $\cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 4

Объединим.

$\frac{\frac{\cos (x) \cos (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 5

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{1 \sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 6

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 7

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin (x)}}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1 - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 8.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 8.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 8.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} - \cos (x)}$

Этап 8.3.1.2

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1}$

Этап 8.3.1.3

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1)}$

Этап 8.3.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Этап 8.3.3

Объединим $- 1$ и $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) (\frac{1}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Этап 8.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x) \frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Этап 8.4

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1 - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) (1 - \sin (x))}{\sin (x)}}$

Этап 8.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} (1 \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))})$

Этап 8.6

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$ на $1$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 8.7

Сократим общий множитель $1 - \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Вынесем множитель $1 - \sin (x)$ из $(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 8.7.2

Вынесем множитель $1 - \sin (x)$ из $\cos (x) (1 - \sin (x))$ .

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - \sin (x)) (1 + \sin (x))}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)}$

Этап 8.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.8

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 8.8.2

Перепишем это выражение.

$(1 + \sin (x)) \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 8.9

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 8.10

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 8.11

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 9

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 10

Перепишем $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ в виде $\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ .

$\frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$

Этап 11

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (x) \cdot \cot (x)}{\cot (x) - \cos (x)} = \frac{\cot (x) + \cos (x)}{\cos (x) \cdot \cot (x)}$ — тождество