Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} = 0$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1 - \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{(1 - \sin (x)) \cos (x)} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \sin (x)) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))} - \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x) - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) + (- 1 \cdot 1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) + (- 1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.4

Развернем $(- 1 - \sin (x)) (1 - \sin (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1 - \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) - \sin (x) (1 - \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 - 1 (- \sin (x)) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.2

Умножим $- 1 (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + 1 \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.2.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) \cdot 1 - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) - \sin (x) (- \sin (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.4

Умножим $- \sin (x) (- \sin (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + 1 \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.4.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.4.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.4.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.1.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin (x) - \sin (x) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.2

Вычтем $\sin (x)$ из $\sin (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + 0 + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.5.3

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.6

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1) + \sin^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.7

Вынесем множитель $- 1$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - 1 (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.9

Перепишем $- 1 (1 - \sin^{2} (x))$ в виде $- (1 - \sin^{2} (x))$ .

$\frac{\cos^{2} (x) - (1 - \sin^{2} (x))}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.10

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.5.11

Вычтем $\cos^{2} (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{0}{\cos (x) (1 - \sin (x))}$

Этап 2.6

Разделим $0$ на $\cos (x) (1 - \sin (x))$ .

$0$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (x)}{1 - \sin (x)} - \frac{1 + \sin (x)}{\cos (x)} = 0$ — тождество