Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)} = \sin (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \sec (x))}{1 - \csc (x)}$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})}{1 - \csc (x)}$

Этап 2.3

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)})}{1 - \frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x) - 1}{\cos (x)}}{1 - \frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x) - 1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \frac{\sin (x) - 1}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Этап 3.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\sin (x) - 1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Этап 3.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сократим выражение $\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x)}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{\cos (x) (\sin (x) - 1)}{\cos (x)}}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Этап 3.4.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{\sin (x) - 1}{1}}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Этап 3.4.2

Разделим $\sin (x) - 1$ на $1$ .

$\frac{\sin (x) - 1}{\frac{\sin (x) - 1}{\sin (x)}}$

Этап 3.5

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\sin (x) - 1) \frac{\sin (x)}{\sin (x) - 1}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $\sin (x) - 1$ .

$\sin (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (x) (\tan (x) - \sec (x))}{1 - \csc (x)} = \sin (x)$ — тождество