Тригонометрия Примеры

$\frac{2 \sin (x) \cot (x) + \sin (x) - 4 \cot (x) - 2}{2 \cot (x) + 1} = \sin (x) - 2$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{2 \sin (x) \cot (x) + \sin (x) - 4 \cot (x) - 2}{2 \cot (x) + 1}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{2 \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - 4 \cot (x) - 2}{2 \cot (x) + 1}$

Этап 2.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{2 \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - 4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2}{2 \cot (x) + 1}$

Этап 2.3

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{2 \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x) - 4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$\frac{(2 \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \sin (x)) - 4 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 2}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3.1.1.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$\frac{\sin (x) (2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) - 2 (2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3.1.2

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1$ .

$\frac{(2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) - 2)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3.1.3

Объединим $2$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{(\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\sin (x) - 2)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (\sin (x) - 2)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\sin (x) - 2)}{2 \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $2$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\sin (x) - 2)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3.2.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\sin (x) - 2)}{\frac{2 \cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\sin (x) - 2)}{\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $\frac{2 \cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\sin (x) - 2$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{2 \sin (x) \cot (x) + \sin (x) - 4 \cot (x) - 2}{2 \cot (x) + 1} = \sin (x) - 2$ — тождество