Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sec (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)}$

Этап 2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Этап 3.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}}{\sin (x)}$

Этап 3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\csc (x) - \sec (x)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \sec (x)$

Этап 5.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 6

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 6.2

Чтобы записать $- \frac{1}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (x) \cos (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \tan (x)}{\sin (x)} = \csc (x) - \sec (x)$ — тождество