Тригонометрия Примеры

\frac{1}{sin (x) + 1} + \frac{1}{csc (x) + 1} = 1

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1}$

Этап 2

Применим взаимно обратное тождество к

$\csc (x)$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Запишем

$1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + 1 \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 3.1.3

Умножим

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ на

$1$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 3.2

Чтобы записать

$\frac{1}{\sin (x) + 1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 3.3

Чтобы записать

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на

$\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1}{\sin (x) + 1} \cdot \frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Этап 3.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем

$(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ , умножив на подходящий множитель

$1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Умножим

$\frac{1}{\sin (x) + 1}$ на

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$

Этап 3.4.2

Умножим

$\frac{\sin (x)}{1 + \sin (x)}$ на

$\frac{\sin (x) + 1}{\sin (x) + 1}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.4.3

Изменим порядок множителей в

$(\sin (x) + 1) (1 + \sin (x))$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)} + \frac{\sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) (\sin (x) + 1)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \sin (x) + \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.2

Умножим

$\sin (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Возведем

$\sin (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} \sin (x) + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.2.2

Возведем

$\sin (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.2.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.2.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x) \cdot 1}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.3

Умножим

$\sin (x)$ на

$1$ .

$\frac{1 + \sin (x) + {\sin (x)}^{2} + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.4

Добавим

$\sin (x)$ и

$\sin (x)$ .

$\frac{1 + {\sin (x)}^{2} + 2 \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.5.1

Переставляем члены.

$\frac{1 + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.5.2

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.5.3

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \sin (x) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (x)$

Этап 3.6.5.4

Перепишем многочлен.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \sin (x) + {\sin (x)}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.6.5.5

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где

$a = 1$ и

$b = \sin (x)$ .

$\frac{{(1 + \sin (x))}^{2}}{(1 + \sin (x)) (\sin (x) + 1)}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель

${(1 + \sin (x))}^{2}$ и

$1 + \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{\sin (x) + 1}$

Этап 4

Сократим общий множитель

$1 + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 + \sin (x)}$

Этап 4.2

Перепишем это выражение.

$1$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\sin (x) + 1} + \frac{1}{\csc (x) + 1} = 1$ — тождество