Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)}$

Этап 2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Чтобы записать $- \cos (x)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.2

Объединим $- \cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.1.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.4.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\frac{1 - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.4.2

Перепишем $1 - {\cos (x)}^{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.4.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{\frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{\cos (x)}}$

Этап 3.1.4.2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (x)$ .

$\frac{1}{\frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{\cos (x)}}$

Этап 3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$1 \frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.3

Умножим $\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{(1 + \cos (x)) \cdot 1 + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $1 + \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + (1 + \cos (x)) (- \cos (x))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Этап 5.1.3

Умножим $- \cos (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))}$

Этап 5.1.4

Умножим $\cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))}$

Этап 5.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})}$

Этап 5.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}}$

Этап 5.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + \cos (x) - \cos (x) - {\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.2

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{1 + 0 - {\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.3

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{\cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ в виде $\cot (x) \csc (x)$ .

$\cot (x) \csc (x)$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\sec (x) - \cos (x)} = \cot (x) \csc (x)$ — тождество