Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b) = \frac{\sec^{2} (b)}{\tan (b)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{\sec^{2} (b)}{\tan (b)}$

Этап 2

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{\tan^{2} (b) + 1}{\tan (b)}$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\tan (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{\sin (b)}{\cos (b)})}^{2} + 1}{\tan (b)}$

Этап 3.2

Запишем $\tan (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{\sin (b)}{\cos (b)})}^{2} + 1}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\frac{\sin^{2} (b)}{\cos^{2} (b)} + 1}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{{\sin (b)}^{2}}{{\cos (b)}^{2}} + 1) \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{\sin (b)}^{2}}{{\cos (b)}^{2}} \cdot \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + 1 \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 4.3

Объединим.

$\frac{{\sin (b)}^{2} \cos (b)}{{\cos (b)}^{2} \sin (b)} + 1 \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 4.4

Умножим $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ на $1$ .

$\frac{{\sin (b)}^{2} \cos (b)}{{\cos (b)}^{2} \sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

$\frac{\sin (b)}{\cos (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 5

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\sin (b)}{\cos (b)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)}$

Этап 5.2

Чтобы записать $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\sin (b)}{\cos (b)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (b)}{\cos (b)}$

Этап 5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (b) \sin (b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ на $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)} + \frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (b)}{\cos (b)}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ на $\frac{\cos (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)} + \frac{\cos (b) \cos (b)}{\sin (b) \cos (b)}$

Этап 5.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (b) \cos (b)$ .

$\frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)} + \frac{\cos (b) \cos (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (b) \sin (b) + \cos (b) \cos (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 6

Упростим каждый член.

$\frac{\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 7

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 8

Теперь рассмотрим левую часть уравнения.

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b)$

Этап 9

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Запишем $\tan (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}} + \tan (b)$

Этап 9.2

Запишем $\tan (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\frac{\sin (b)}{\cos (b)}} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$

Этап 10

Упростим каждый член.

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$

Этап 11

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Чтобы записать $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (b)}{\cos (b)} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$

Этап 11.2

Чтобы записать $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b)}{\sin (b)} \cdot \frac{\cos (b)}{\cos (b)} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Этап 11.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin (b) \cos (b)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Умножим $\frac{\cos (b)}{\sin (b)}$ на $\frac{\cos (b)}{\cos (b)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (b)}{\sin (b) \cos (b)} + \frac{\sin (b)}{\cos (b)} \cdot \frac{\sin (b)}{\sin (b)}$

Этап 11.3.2

Умножим $\frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ на $\frac{\sin (b)}{\sin (b)}$ .

$\frac{\cos (b) \cos (b)}{\sin (b) \cos (b)} + \frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 11.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (b) \cos (b)$ .

$\frac{\cos (b) \cos (b)}{\cos (b) \sin (b)} + \frac{\sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 11.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (b) \cos (b) + \sin (b) \sin (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 12

Упростим каждый член.

$\frac{\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b)}{\cos (b) \sin (b)}$

Этап 13

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{\tan (b)} + \tan (b) = \frac{\sec^{2} (b)}{\tan (b)}$ — тождество