Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{1 - \sin (w)} + \frac{1}{1 + \sin (w)} = 2 \cdot \sec^{2} (w)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1}{1 - \sin (w)} + \frac{1}{1 + \sin (w)}$

Этап 2

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 - \sin (w)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \sin (w)}{1 + \sin (w)}$ .

$\frac{1}{1 - \sin (w)} \cdot \frac{1 + \sin (w)}{1 + \sin (w)} + \frac{1}{1 + \sin (w)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \sin (w)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (w)}{1 - \sin (w)}$ .

$\frac{1}{1 - \sin (w)} \cdot \frac{1 + \sin (w)}{1 + \sin (w)} + \frac{1}{1 + \sin (w)} \cdot \frac{1 - \sin (w)}{1 - \sin (w)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \sin (w)) (1 + \sin (w))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{1 - \sin (w)}$ на $\frac{1 + \sin (w)}{1 + \sin (w)}$ .

$\frac{1 + \sin (w)}{(1 - \sin (w)) (1 + \sin (w))} + \frac{1}{1 + \sin (w)} \cdot \frac{1 - \sin (w)}{1 - \sin (w)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{1 + \sin (w)}$ на $\frac{1 - \sin (w)}{1 - \sin (w)}$ .

$\frac{1 + \sin (w)}{(1 - \sin (w)) (1 + \sin (w))} + \frac{1 - \sin (w)}{(1 + \sin (w)) (1 - \sin (w))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \sin (w)) (1 + \sin (w))$ .

$\frac{1 + \sin (w)}{(1 + \sin (w)) (1 - \sin (w))} + \frac{1 - \sin (w)}{(1 + \sin (w)) (1 - \sin (w))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (w) + 1 - \sin (w)}{(1 + \sin (w)) (1 - \sin (w))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + \sin (w) - \sin (w)}{(1 + \sin (w)) (1 - \sin (w))}$

Этап 3.2

Вычтем $\sin (w)$ из $\sin (w)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \sin (w)) (1 - \sin (w))}$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{(1 + \sin (w)) (1 - \sin (w))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \sin (w)) (1 - \sin (w))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 (1 - \sin (w)) + \sin (w) (1 - \sin (w))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (w)) + \sin (w) (1 - \sin (w))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (w)) + \sin (w) \cdot 1 + \sin (w) (- \sin (w))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2}{1 - \sin^{2} (w)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2}{\cos^{2} (w)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{2}{\cos^{2} (w)}$ в виде $2 \cdot \sec^{2} (w)$ .

$2 \cdot \sec^{2} (w)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{1 - \sin (w)} + \frac{1}{1 + \sin (w)} = 2 \cdot \sec^{2} (w)$ — тождество