Тригонометрия Примеры

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan (x) \sec (x)$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sec (x)$

Этап 2.3

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 3

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin^{2} (x)}$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 6.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{1 + \sin (x)}{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $1 + \sin (x)$ .

$\frac{1}{1 - \sin (x)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1}{1 - \sin (x)} = \sec^{2} (x) + \tan (x) \sec (x)$ — тождество