Тригонометрия Примеры

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} = 4 \tan (a) \sec (a)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$

Этап 2

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ .

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} \cdot \frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $- \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ .

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} \cdot \frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} \cdot \frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ на $\frac{1 + \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ .

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} \cdot \frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)}$ на $\frac{1 - \sin (a)}{1 - \sin (a)}$ .

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))} - \frac{(1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \sin (a)) (1 + \sin (a))$ .

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))} - \frac{(1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Развернем $(1 + \sin (a)) (1 + \sin (a))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 (1 + \sin (a)) + \sin (a) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) (1 + \sin (a)) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.2.1.2

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.2.1.3

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + \sin (a) \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.2.1.4

Умножим $\sin (a) \sin (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.4.1

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1} \sin (a) - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.2.1.4.2

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{1 + 1} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + \sin (a) + \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.2.2

Добавим $\sin (a)$ и $\sin (a)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - (1 - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 \cdot 1 - - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 - - \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.5

Умножим $- - \sin (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 + 1 \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.5.2

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + (- 1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.6

Развернем $(- 1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 (1 - \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 \cdot 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 - 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7.1.2

Умножим $- 1 (- \sin (a))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + 1 \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7.1.2.2

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7.1.3

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) + \sin (a) (- \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7.1.4

Умножим $\sin (a) (- \sin (a))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.7.1.4.1

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - ({\sin (a)}^{1} \sin (a))}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7.1.4.2

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - ({\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1})}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - {\sin (a)}^{1 + 1}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + \sin (a) + \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.1.7.2

Добавим $\sin (a)$ и $\sin (a)$ .

$\frac{1 + 2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} - 1 + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{2 \sin (a) + {\sin (a)}^{2} + 0 + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.3

Добавим $2 \sin (a)$ и $0$ .

$\frac{{\sin (a)}^{2} + 2 \sin (a) + 2 \sin (a) - {\sin (a)}^{2}}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.4

Вычтем ${\sin (a)}^{2}$ из ${\sin (a)}^{2}$ .

$\frac{2 \sin (a) + 2 \sin (a) + 0}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.5

Добавим $2 \sin (a)$ и $2 \sin (a)$ .

$\frac{4 \sin (a) + 0}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 3.6

Добавим $4 \sin (a)$ и $0$ .

$\frac{4 \sin (a)}{(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \sin (a)) (1 - \sin (a))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sin (a)}{1 (1 - \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sin (a)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (a)) + \sin (a) (1 - \sin (a))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 \sin (a)}{1 \cdot 1 + 1 (- \sin (a)) + \sin (a) \cdot 1 + \sin (a) (- \sin (a))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{4 \sin (a)}{1 - \sin^{2} (a)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{4 \sin (a)}{\cos^{2} (a)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{4 \sin (a)}{\cos^{2} (a)}$ в виде $4 \tan (a) \sec (a)$ .

$4 \tan (a) \sec (a)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 + \sin (a)}{1 - \sin (a)} - \frac{1 - \sin (a)}{1 + \sin (a)} = 4 \tan (a) \sec (a)$ — тождество