Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \sin (t)}{1 + \sin (t)} = {(\sec (t) - \tan (t))}^{2}$

Этап 1

Начнем с правой части.

${(\sec (t) - \tan (t))}^{2}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (t)$ .

${(\frac{1}{\cos (t)} - \tan (t))}^{2}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (t)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})}^{2}$ в виде $(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$ .

$(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.2

Развернем $(\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (t)} (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (\frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (t)}$ на $\frac{1}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{\cos (t) \cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.1.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.1.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{1 + 1}} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)}) - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $\frac{1}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{1}{\cos (t)}$ на $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t) \cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.2.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{1}{\cos (t)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Умножим $\frac{1}{\cos (t)}$ на $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t) \cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.3.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.3.3

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{1 + 1}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- \frac{\sin (t)}{\cos (t)} (- \frac{\sin (t)}{\cos (t)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + 1 \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Умножим $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ на $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\sin (t)}{\cos (t)}$

Этап 2.3.3.1.4.3

Умножим $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ на $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{\sin (t) \sin (t)}{\cos (t) \cos (t)}$

Этап 2.3.3.1.4.4

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{1} \sin (t)}{\cos (t) \cos (t)}$

Этап 2.3.3.1.4.5

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{1} {\sin (t)}^{1}}{\cos (t) \cos (t)}$

Этап 2.3.3.1.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{1 + 1}}{\cos (t) \cos (t)}$

Этап 2.3.3.1.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{\cos (t) \cos (t)}$

Этап 2.3.3.1.4.8

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{1} \cos (t)}$

Этап 2.3.3.1.4.9

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{1} {\cos (t)}^{1}}$

Этап 2.3.3.1.4.10

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.3.1.4.11

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Вычтем $\frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}}$ из $- \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - 2 \frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{\sin (t)}{{\cos (t)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{- 2 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}}$

Этап 2.3.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{{\cos (t)}^{2}} - \frac{2 \sin (t)}{{\cos (t)}^{2}} + \frac{{\sin (t)}^{2}}{{\cos (t)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{- 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $- 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $- 2 \sin (t)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{\sin (t) \cdot - 2 + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $\sin^{2} (t)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{\sin (t) \cdot - 2 + \sin (t) \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $\sin (t)$ из $\sin (t) \cdot - 2 + \sin (t) \sin (t)$ .

$\frac{1}{\cos^{2} (t)} + \frac{\sin (t) (- 2 + \sin (t))}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \sin (t) (- 2 + \sin (t))}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1 + \sin (t) \cdot - 2 + \sin (t) \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 2$ влево от $\sin (t)$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + \sin (t) \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3.3

Умножим $\sin (t) \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3.3.2

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + \sin^{1} (t) \sin^{1} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + {\sin (t)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1 - 2 \cdot \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3.4

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - 2 \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3.4.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \sin (t) = 2 \cdot 1 \cdot \sin (t)$

Этап 3.3.4.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \sin (t) + \sin^{2} (t)}{\cos^{2} (t)}$

Этап 3.3.4.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = \sin (t)$ .

$\frac{{(1 - \sin (t))}^{2}}{\cos^{2} (t)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{{(1 - \sin (t))}^{2}}{1 - \sin^{2} (t)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(1 - \sin (t))}^{2}}{1^{2} - {\sin (t)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (t)$ .

$\frac{{(1 - \sin (t))}^{2}}{(1 + \sin (t)) (1 - \sin (t))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель ${(1 - \sin (t))}^{2}$ и $1 - \sin (t)$ .

$\frac{1 - \sin (t)}{1 + \sin (t)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \sin (t)}{1 + \sin (t)} = {(\sec (t) - \tan (t))}^{2}$ — тождество