Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

Этап 1

Начнем с правой части.

${(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \csc (x))}^{2}$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем ${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})}^{2}$ в виде $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ .

$(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.2

Развернем $(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{\sin (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.6

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.7

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.1.9

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)}) - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3

Умножим $- \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.3.1

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$

Этап 2.3.3.1.4

Умножим $- \frac{1}{\sin (x)} (- \frac{1}{\sin (x)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + 1 \frac{1}{\sin (x)} \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.3

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{\sin (x) \sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.4

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}$

Этап 2.3.3.1.4.5

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}$

Этап 2.3.3.1.4.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{1 + 1}}$

Этап 2.3.3.1.4.7

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.3.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} - \frac{\cos (x)}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - \cos (x) - \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.3.5

Вычтем $\cos (x)$ из $- \cos (x)$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} - 2 \cos (x) + 1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 2.3.6

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем ${(\cos (x) - 1)}^{2}$ в виде $(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ .

$\frac{(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.2

Развернем $(\cos (x) - 1) (\cos (x) - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) - 1) - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 (\cos (x) - 1)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \cdot - 1 - 1 \cos (x) - 1 \cdot - 1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.3

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (x)$ .

$\frac{{(\cos (x) - 1)}^{2}}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель ${(\cos (x) - 1)}^{2}$ и $1 - \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \cos (x)}{1 + \cos (x)} = {(\cot (x) - \csc (x))}^{2}$ — тождество