Тригонометрия Примеры

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$(1^{2} - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (x)$ .

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + \cos^{2} (x))$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x)) (1 + 1 - \sin^{2} (x))$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$(1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- \cos (x)$ на $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2.1.3

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) + \cos (x) (- \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2.1.4

Умножим $\cos (x) (- \cos (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} \cos (x))) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1})) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$(1 - \cos (x) + \cos (x) - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2.2

Добавим $- \cos (x)$ и $\cos (x)$ .

$(1 + 0 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.2.3

Добавим $1$ и $0$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (1 + 1 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.3

Добавим $1$ и $1$ .

$(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.4

Развернем $(1 - {\cos (x)}^{2}) (2 - {\sin (x)}^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (2 - {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} (2 - {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 2 + 1 (- {\sin (x)}^{2}) - {\cos (x)}^{2} \cdot 2 - {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

$2 - \sin^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5.2

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$2 (1) - 2 \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5.3

Вынесем множитель $2$ из $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (1) + 2 (- \cos^{2} (x))$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5.5

Применим формулу Пифагора.

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5.6

Вынесем множитель $\sin^{2} (x)$ из $2 \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $\sin^{2} (x)$ из $2 \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 - \sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $\sin^{2} (x)$ из $- \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $\sin^{2} (x)$ из $\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Этап 5.6.4

Вынесем множитель $\sin^{2} (x)$ из $\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) \cdot - 1$ .

$\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$

Этап 5.6.5

Вынесем множитель $\sin^{2} (x)$ из $\sin^{2} (x) \cdot (2 - 1) + \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 + \cos^{2} (x))$

Этап 5.7

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) + \cos^{2} (x))$

Этап 5.8

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x)))$

Этап 5.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - 1 (1 - \cos^{2} (x)))$

Этап 5.10

Перепишем $- 1 (1 - \cos^{2} (x))$ в виде $- (1 - \cos^{2} (x))$ .

$\sin^{2} (x) (2 - (1 - \cos^{2} (x)))$

Этап 5.11

Применим формулу Пифагора.

$\sin^{2} (x) (2 - \sin^{2} (x))$

Этап 5.12

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin^{2} (x) \cdot 2 + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Этап 5.13

Перенесем $2$ влево от $\sin^{2} (x)$ .

$2 \cdot \sin^{2} (x) + \sin^{2} (x) (- \sin^{2} (x))$

Этап 5.14

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 \cdot \sin^{2} (x) - \sin^{2} (x) \sin^{2} (x)$

Этап 5.15

Умножим $\sin^{2} (x)$ на $\sin^{2} (x)$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.15.1

Перенесем $\sin^{2} (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - (\sin^{2} (x) \sin^{2} (x))$

Этап 5.15.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 \sin^{2} (x) - {\sin (x)}^{2 + 2}$

Этап 5.15.3

Добавим $2$ и $2$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cos^{2} (x)) = 2 \sin^{2} (x) - \sin^{4} (x)$ — тождество