Тригонометрия Примеры

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \tan (x)) (\csc (x) + 1)$

Этап 2.1.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\csc (x) + 1)$

Этап 2.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Этап 2.3

Развернем $(\frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Этап 2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\frac{1}{\sin (x)} + 1)$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Этап 2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot 1 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Этап 2.4.1.2

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Этап 2.4.1.3

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в числитель.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Этап 2.4.1.3.2

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Этап 2.4.1.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Этап 2.4.1.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Этап 2.4.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot 1$

Этап 2.4.1.5

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\cos (x)} - \frac{1}{\cos (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.4.2

Вычтем $\frac{1}{\cos (x)}$ из $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} + 0 - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.4.3

Добавим $\frac{1}{\cos (x) \sin (x)}$ и $0$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы записать $- \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 3.2

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x) \sin (x)} - \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 4

Умножим $- \sin (x) \sin (x)$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 7

Перепишем $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ в виде $\cot (x)$ .

$\cot (x)$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$(\sec (x) - \tan (x)) (\csc (x) + 1) = \cot (x)$ — тождество