Тригонометрия Примеры

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \cot (x)) (1 - \cos (x))$

Этап 2.1.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$

Этап 2.2

Развернем $(\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x)} (1 - \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (1 - \cos (x))$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} (- \cos (x)) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Этап 2.3.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{1}{\sin (x)} \cos (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Этап 2.3.1.3

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot 1 + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Этап 2.3.1.4

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (- \cos (x))$

Этап 2.3.1.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$

Этап 2.3.1.6

Умножим $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.6.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.1.6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.1.6.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.1.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x)}$

Этап 2.3.1.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.2

Добавим $- \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} + 0 - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.3.3

Добавим $\frac{1}{\sin (x)}$ и $0$ .

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.6

Сократим общий множитель $\sin^{2} (x)$ и $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Вынесем множитель $\sin (x)$ из $\sin^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x)}$

Этап 2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 2.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\sin (x) \cdot 1}$

Этап 2.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (x)}{1}$

Этап 2.6.2.4

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\sin (x)$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$(\csc (x) + \cot (x)) (1 - \cos (x)) = \sin (x)$ — тождество