Тригонометрия Примеры

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)} = \frac{1 + 2 \cos (a) + (\cos^{2} (a))}{\sin^{2} (a)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{1 + 2 \cos (a) + (\cos^{2} (a))}{\sin^{2} (a)}$

Этап 2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Избавимся от скобок.

$\frac{1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Этап 2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Этап 2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$2 \cos (a) = 2 \cdot 1 \cdot \cos (a)$

Этап 2.2.3

Перепишем многочлен.

$\frac{1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$

Этап 2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = \cos (a)$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{\sin^{2} (a)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{1 - \cos^{2} (a)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{1^{2} - {\cos (a)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (a)$ .

$\frac{{(1 + \cos (a))}^{2}}{(1 + \cos (a)) (1 - \cos (a))}$

Этап 4.2

Сократим общий множитель ${(1 + \cos (a))}^{2}$ и $1 + \cos (a)$ .

$\frac{1 + \cos (a)}{1 - \cos (a)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1 + \cos (a)}{1 - \cos (a)}$ в виде $\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)}$ .

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\csc (a) + \cot (a)}{\csc (a) - \cot (a)} = \frac{1 + 2 \cos (a) + \cos^{2} (a)}{\sin^{2} (a)}$ — тождество