Тригонометрия Примеры

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2

Умножим $\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\csc (x) (1 + \cos (x))}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\csc (x) \cdot 1 + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 4.2

Умножим $\csc (x)$ на $1$ .

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 (1 + \cos (x)) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) (1 + \cos (x))}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 \cdot 1 + 1 \cos (x) - \cos (x) \cdot 1 - \cos (x) \cos (x)}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

$\frac{\csc (x) + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \csc (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Объединим $\frac{1}{\sin (x)}$ и $\cos (x)$ .

$\frac{\frac{1}{\sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 8.3

Умножим $\frac{1 + \cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$

Этап 9

Перепишем $\frac{1 + \cos (x)}{\sin^{3} (x)}$ в виде $\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$ .

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)}$

Этап 10

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos (x) + 1}{\sin^{3} (x)} = \frac{\csc (x)}{1 - \cos (x)}$ — тождество