Тригонометрия Примеры

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2} = 1 + \sin (2 t)$

Этап 1

Начнем с левой части.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\sin (t) + \cos (t))}^{2}$ в виде $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ .

$(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$

Этап 2.2

Развернем $(\sin (t) + \cos (t)) (\sin (t) + \cos (t))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (t) (\sin (t) + \cos (t)) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Этап 2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) (\sin (t) + \cos (t))$

Этап 2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\sin (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Этап 2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Умножим $\sin (t) \sin (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (t) \sin (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Этап 2.3.1.1.2

Возведем $\sin (t)$ в степень $1$ .

$\sin^{1} (t) \sin^{1} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Этап 2.3.1.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\sin (t)}^{1 + 1} + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Этап 2.3.1.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \cos (t)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $\cos (t) \cos (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{1} (t) \cos (t)$

Этап 2.3.1.2.2

Возведем $\cos (t)$ в степень $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{1} (t) \cos^{1} (t)$

Этап 2.3.1.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + {\cos (t)}^{1 + 1}$

Этап 2.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\sin^{2} (t) + \sin (t) \cos (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Этап 2.3.2

Изменим порядок множителей в $\sin (t) \cos (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Этап 2.3.3

Добавим $\cos (t) \sin (t)$ и $\cos (t) \sin (t)$ .

$\sin^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t) + \cos^{2} (t)$

Этап 2.4

Перенесем $\cos^{2} (t)$ .

$\sin^{2} (t) + \cos^{2} (t) + 2 \cos (t) \sin (t)$

Этап 2.5

Применим формулу Пифагора.

$1 + 2 \cos (t) \sin (t)$

Этап 2.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Изменим порядок $2 \cos (t)$ и $\sin (t)$ .

$1 + \sin (t) (2 \cos (t))$

Этап 2.6.2

Изменим порядок $\sin (t)$ и $2$ .

$1 + 2 \cdot \sin (t) \cos (t)$

Этап 2.6.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$1 + \sin (2 t)$

Этап 3

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

${(\sin (t) + \cos (t))}^{2} = 1 + \sin (2 t)$ — тождество