Тригонометрия Примеры

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\cot (B)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1}$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (B)$ .

$\frac{{(\frac{\cos (B)}{\sin (B)})}^{2} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $\frac{\cos (B)}{\sin (B)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{{(\frac{1}{\sin (B)})}^{2} - 1}$

Этап 2.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (B)}$ .

$\frac{\frac{\cos^{2} (B)}{\sin^{2} (B)} - \cos^{2} (B)}{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (B)} - 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\sin (B)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$ на $\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} \cdot \frac{\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2}}{\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{{\sin (B)}^{2} (\frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} (\frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} - 1)}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель ${\sin (B)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{\sin (B)}^{2} \frac{{\cos (B)}^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель ${\sin (B)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{{\sin (B)}^{2} \frac{1^{2}}{{\sin (B)}^{2}} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.3.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель ${\cos (B)}^{2}$ из ${\cos (B)}^{2} + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Умножим на $1$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель ${\cos (B)}^{2}$ из ${\sin (B)}^{2} (- {\cos (B)}^{2})$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель ${\cos (B)}^{2}$ из ${\cos (B)}^{2} \cdot 1 + {\cos (B)}^{2} ({\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + {\sin (B)}^{2} \cdot (- 1))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.4.2

Перенесем $- 1$ влево от ${\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.4.3

Перепишем $- 1 {\sin (B)}^{2}$ в виде $- {\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.4.4

Перепишем $1 - {\sin (B)}^{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1^{2} - {\sin (B)}^{2})}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.4.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (B)$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} ((1 + \sin (B)) (1 - \sin (B)))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 + {\sin (B)}^{2} \cdot - 1}$

Этап 3.5.2

Перенесем $- 1$ влево от ${\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - 1 \cdot {\sin (B)}^{2}}$

Этап 3.5.3

Перепишем $- 1 {\sin (B)}^{2}$ в виде $- {\sin (B)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1 - {\sin (B)}^{2}}$

Этап 3.5.4

Перепишем $1 - {\sin (B)}^{2}$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{1^{2} - {\sin (B)}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $1 + \sin (B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}{(1 + \sin (B)) (1 - \sin (B))}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{\cos (B)}^{2} (1 - \sin (B))}{1 - \sin (B)}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $1 - \sin (B)$ .

$\cos^{2} (B)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cot^{2} (B) - \cos^{2} (B)}{\csc^{2} (B) - 1} = \cos^{2} (B)$ — тождество