Тригонометрия Примеры

\frac{{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)}{1 - {tan}^{2} (x)} = {cos}^{2} (x)

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

\frac{{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)}{1 - {tan}^{2} (x)}

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем

tan (x)

$\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

\frac{{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)}{1 - {(\frac{sin (x)}{cos (x)})}^{2}}

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к

\frac{sin (x)}{cos (x)}

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

\frac{{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)}{1 - \frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}}

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

\frac{{cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x)}{1 - \frac{{sin}^{2} (x)}{{cos}^{2} (x)}}

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by

{cos (x)}^{2}

${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим

\frac{{cos (x)}^{2} - {sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}}}

$\frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ на

\frac{{cos (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}}

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

\frac{{cos (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{cos (x)}^{2} - {sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}}}

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}{1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

\frac{{cos (x)}^{2} ({cos (x)}^{2} - {sin (x)}^{2})}{{cos (x)}^{2} (1 - \frac{{sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}})}

$\frac{{\cos (x)}^{2} ({\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

\frac{{cos (x)}^{2} ({cos (x)}^{2} - {sin (x)}^{2})}{{cos (x)}^{2} (1 - \frac{{sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}})}

$\frac{{\cos (x)}^{2} ({\cos (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} (1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

\frac{{cos (x)}^{2} {cos (x)}^{2} + {cos (x)}^{2} (- {sin (x)}^{2})}{{cos (x)}^{2} \cdot 1 + {cos (x)}^{2} (- \frac{{sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}})}

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} (- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель

{cos (x)}^{2}

${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в

- \frac{{sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}}

$- \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ в числитель.

\frac{{cos (x)}^{2} {cos (x)}^{2} + {cos (x)}^{2} (- {sin (x)}^{2})}{{cos (x)}^{2} \cdot 1 + {cos (x)}^{2} \frac{- {sin (x)}^{2}}{{cos (x)}^{2}}}

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 + {\cos (x)}^{2} \frac{- {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем

${\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ в виде

${(\cos (x) \cos (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} + {\cos (x)}^{2} (- {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перепишем

${\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ в виде

${(\cos (x) \sin (x))}^{2}$ .

$\frac{{(\cos (x) \cos (x))}^{2} - {(\cos (x) \sin (x))}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = \cos (x) \cos (x)$ и

$b = \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим

$\cos (x) \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1.1

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{({\cos (x)}^{1} \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.1.2

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.1.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{({\cos (x)}^{1 + 1} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.1.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{({\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.2

Вынесем множитель

$\cos (x)$ из

${\cos (x)}^{2} + \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Вынесем множитель

$\cos (x)$ из

${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.2.2

Вынесем множитель

$\cos (x)$ из

$\cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.2.3

Вынесем множитель

$\cos (x)$ из

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (\sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.3

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} \cos (x) - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.3.2

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.3.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{1 + 1} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.3.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) ({\cos (x)}^{2} - (\cos (x) \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.5

Вынесем множитель

$\cos (x)$ из

${\cos (x)}^{2} - \cos (x) \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем множитель

$\cos (x)$ из

${\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) - \cos (x) \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.5.2

Вынесем множитель

$\cos (x)$ из

$- \cos (x) \sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.5.3

Вынесем множитель

$\cos (x)$ из

$\cos (x) \cos (x) + \cos (x) (- \sin (x))$ .

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

$\frac{\cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} \cos (x) (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.6.2

Возведем

$\cos (x)$ в степень

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{1} {\cos (x)}^{1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.6.3

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.6.4

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем

${\cos (x)}^{2} \cdot 1$ в виде

${(\cos (x) \cdot 1)}^{2}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{(\cos (x) \cdot 1)}^{2} - {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.5.2

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = \cos (x) \cdot 1$ и

$b = \sin (x)$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) \cdot 1 + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

Этап 3.5.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Умножим

$\cos (x)$ на

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) \cdot 1 - \sin (x))}$

Этап 3.5.3.2

Умножим

$\cos (x)$ на

$1$ .

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель

$\cos (x) + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 3.6.2

Перепишем это выражение.

$\frac{{\cos (x)}^{2} (\cos (x) - \sin (x))}{\cos (x) - \sin (x)}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель

$\cos (x) - \sin (x)$ .

$\cos^{2} (x)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x)$ — тождество