Тригонометрия Примеры

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)}$

Этап 2

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Переставляем члены.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\tan^{2} (x) + 1}$

Этап 2.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{\sec^{2} (x)}$

Этап 3

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}{\sec^{2} (x)}$

Этап 3.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 3.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1^{2}}$

Этап 4.2

Единица в любой степени равна единице.

$(1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) \frac{{\cos (x)}^{2}}{1}$

Этап 4.3

Разделим ${\cos (x)}^{2}$ на $1$ .

$(1 - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}) {\cos (x)}^{2}$

Этап 4.4

Применим свойство дистрибутивности.

$1 {\cos (x)}^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2}$

Этап 4.5

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на $1$ .

${\cos (x)}^{2} - \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} {\cos (x)}^{2}$

Этап 4.6

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ .

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{1 - \tan^{2} (x)}{1 + \tan^{2} (x)} = \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ — тождество