Тригонометрия Примеры

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{\cot^{2} (x) - 1}$

Этап 2.2

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{1}{\sin (x)})}^{2}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Этап 2.4

Применим правило умножения к $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)}}{\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} - 1}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

Этап 3.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1}$

Этап 3.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$ в виде ${(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1}$

Этап 3.3.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2} - 1^{2}}$

Этап 3.3.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ и $b = 1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Этап 3.3.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{(\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{\sin (x)}{\sin (x)}) (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Этап 3.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1)}$

Этап 3.3.6

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} - 1 \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)})}$

Этап 3.3.7

Объединим $- 1$ и $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{- \sin (x)}{\sin (x)})}$

Этап 3.3.8

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}}$

Этап 3.4

Умножим $\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x) - \sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\sin (x) \sin (x)}}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} \sin (x)}}$

Этап 3.5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1} {\sin (x)}^{1}}}$

Этап 3.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{1 + 1}}}$

Этап 3.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Этап 3.6

Объединим.

$\frac{1 \cdot 1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Этап 3.7

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2} \frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Этап 3.8

Объединим ${\sin (x)}^{2}$ и $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{{\sin (x)}^{2} ((\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x)))}{{\sin (x)}^{2}}}$

Этап 3.9

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

$\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$

Этап 4

Перепишем $\frac{1}{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}$ в виде $\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ .

$\frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{2} (x) - 1} = \frac{\sec^{2} (x)}{1 - \tan^{2} (x)}$ — тождество