Тригонометрия Примеры

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)}$

Этап 2.3

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + \tan^{2} (x)}$

Этап 2.4

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 2.5

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 2.6

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 2.7

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}}$

Этап 2.8

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${\cos (x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$ на $\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ .

$\frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} \cdot \frac{\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} - \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} (\frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} (- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}})}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$ в числитель.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1^{4} + {\cos (x)}^{4} \frac{- {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{1^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{4} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель ${\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{4}$ .

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2} \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}}$

Этап 3.3.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1^{4} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем $1^{4}$ в виде ${(1^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.2

Перепишем ${\sin (x)}^{4}$ в виде ${({\sin (x)}^{2})}^{2}$ .

$\frac{{(1^{2})}^{2} - {({\sin (x)}^{2})}^{2}}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1^{2}$ и $b = {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1^{2} + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1^{2} - {\sin (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.4.4.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2} + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{2} \cdot 1^{2}$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})}$

Этап 3.5.1.3

Вынесем множитель ${\cos (x)}^{2}$ из ${\cos (x)}^{2} (1^{2}) + {\cos (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2})$ .

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1^{2} + {\sin (x)}^{2})}$

Этап 3.5.2

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{(1 + {\sin (x)}^{2}) (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\cos (x)}^{2} (1 + {\sin (x)}^{2})}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $1 + {\sin (x)}^{2}$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - \tan^{2} (x)$

Этап 5.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 5.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 8

Упростим числитель.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{\cos^{2} (x)}$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)}{\sec^{2} (x) + \tan^{2} (x)} = \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)$ — тождество