Тригонометрия Примеры

$2 \csc^{2} (x) = \frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Этап 2

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (x)} \cdot \frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $\frac{1}{1 - \cos (x)}$ на $\frac{1 + \cos (x)}{1 + \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1}{1 + \cos (x)} \cdot \frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$

Этап 2.3.2

Умножим $\frac{1}{1 + \cos (x)}$ на $\frac{1 - \cos (x)}{1 - \cos (x)}$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.3.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (x)) (1 + \cos (x))$ .

$\frac{1 + \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))} + \frac{1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + \cos (x) + 1 - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 + \cos (x) - \cos (x)}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.2

Вычтем $\cos (x)$ из $\cos (x)$ .

$\frac{2 + 0}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 3.3

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2}{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}$

Этап 4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Развернем $(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 (1 - \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 4.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) (1 - \cos (x))}$

Этап 4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \cos (x) (- \cos (x))}$

Этап 4.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{2}{1 - \cos^{2} (x)}$

Этап 5

Применим формулу Пифагора.

$\frac{2}{\sin^{2} (x)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{2}{\sin^{2} (x)}$ в виде $2 \csc^{2} (x)$ .

$2 \csc^{2} (x)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$2 \csc^{2} (x) = \frac{1}{1 - \cos (x)} + \frac{1}{1 + \cos (x)}$ — тождество