Тригонометрия Примеры

$\cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \csc^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cot (x) (\tan (x) + \cot (x))$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cot (x) \tan (x) + \cot (x) \cot (x)$

Этап 3

Умножим $\cot (x) \cot (x)$ .

$\cot (x) \tan (x) + \cot^{2} (x)$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\cot (x) \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Этап 5

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Запишем $\cot (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \tan (x) + \csc^{2} (x) - 1$

Этап 5.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \csc^{2} (x) - 1$

Этап 5.3

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - 1$

Этап 5.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - 1$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2

Сократим общий множитель $\sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sin (x)} \sin (x) + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.2.2

Перепишем это выражение.

$1 + \frac{1^{2}}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$1 + \frac{1}{{\sin (x)}^{2}} - 1$

Этап 6.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{1}{{\sin (x)}^{2}} + 0$

Этап 6.3

Добавим $\frac{1}{{\sin (x)}^{2}}$ и $0$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 7

Перепишем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Этап 8

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cot (x) (\tan (x) + \cot (x)) = \csc^{2} (x)$ — тождество