Тригонометрия Примеры

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4})$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$\cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4.1.2

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{π}{4}) + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4.1.3

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4.1.4

Объединим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (- \frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4.1.5

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{7 π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \cos (\frac{π}{4}) - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4.1.7

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \cos (x) \frac{\sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4.1.8

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (- \frac{π}{4})$

Этап 4.1.9

Добавим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) \sin (\frac{7 π}{4})$

Этап 4.1.10

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 4.1.11

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 4.1.12

Умножим $- \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.12.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 1 \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.12.2

Умножим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 4.1.12.3

Объединим $\sin (x)$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2

Объединим противоположные члены в $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Изменим порядок множителей в членах $- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ и $\frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Этап 4.2.2

Добавим $- \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ и $\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + 0 + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.2.3

Добавим $\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$ и $0$ .

$\frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos (x) \sqrt{2} + \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.4

Добавим $\cos (x) \sqrt{2}$ и $\cos (x) \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 4.5.2

Разделим $\cos (x) \sqrt{2}$ на $1$ .

$\cos (x) \sqrt{2}$

Этап 5

Изменим порядок множителей в $\cos (x) \sqrt{2}$ .

$\sqrt{2} \cos (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos (x + \frac{π}{4}) + \cos (x - \frac{π}{4}) = \sqrt{2} \cos (x)$ — тождество