Тригонометрия Примеры

cos (x - \frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (cos (x) + sin (x))

$\cos (x - \frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) + \sin (x))$

Этап 1

Начнем с левой части.

cos (x - \frac{5 π}{4})

$\cos (x - \frac{5 π}{4})$

Этап 2

Применим формулу для разности углов

cos (x - y) = cos (x) cos (y) + sin (x) sin (y)

$\cos (x - y) = \cos (x) \cos (y) + \sin (x) \sin (y)$ .

cos (x) cos (\frac{5 π}{4}) + sin (x) sin (\frac{5 π}{4})

$\cos (x) \cos (\frac{5 π}{4}) + \sin (x) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

cos (x) (- cos (\frac{π}{4})) + sin (x) sin (\frac{5 π}{4})

$\cos (x) (- \cos (\frac{π}{4})) + \sin (x) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 3.2

Точное значение

cos (\frac{π}{4})

$\cos (\frac{π}{4})$ :

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + sin (x) sin (\frac{5 π}{4})

$\cos (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2}) + \sin (x) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 3.3

Объединим

cos (x)

$\cos (x)$ и

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} + sin (x) sin (\frac{5 π}{4})

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 3.4

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} + sin (x) (- sin (\frac{π}{4}))

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 3.5

Точное значение

sin (\frac{π}{4})

$\sin (\frac{π}{4})$ :

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} + sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} + \sin (x) (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 3.6

Объединим

sin (x)

$\sin (x)$ и

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{sin (x) \sqrt{2}}{2}

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{sin (x) \sqrt{2}}{2}

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 4

Изменим порядок множителей в

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{sin (x) \sqrt{2}}{2}

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2} cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} sin (x)}{2}

$- \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Этап 5

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (cos (x) + sin (x))

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) + \sin (x))$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Применим свойство дистрибутивности.

- \frac{\sqrt{2}}{2} cos (x) - \frac{\sqrt{2}}{2} sin (x)

$- \frac{\sqrt{2}}{2} \cos (x) - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

Этап 6.2

Объединим

cos (x)

$\cos (x)$ и

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} sin (x)

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin (x)$

Этап 6.3

Объединим

sin (x)

$\sin (x)$ и

\frac{\sqrt{2}}{2}

$\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{sin (x) \sqrt{2}}{2}

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$

Этап 6.4

Изменим порядок множителей в

- \frac{cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{sin (x) \sqrt{2}}{2}

$- \frac{\cos (x) \sqrt{2}}{2} - \frac{\sin (x) \sqrt{2}}{2}$ .

- \frac{\sqrt{2} cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} sin (x)}{2}

$- \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

- \frac{\sqrt{2} cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} sin (x)}{2}

$- \frac{\sqrt{2} \cos (x)}{2} - \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{2}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos (x - \frac{5 π}{4}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (\cos (x) + \sin (x))$ — тождество