Тригонометрия Примеры

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b)$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot \cos (a - b)$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов $\cos (x + y) = \cos (x) \cos (y) - \sin (x) \sin (y)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (- b) - \sin (a) \sin (- b))$

Этап 4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Так как $\cos (- b)$ — четная функция, перепишем $\cos (- b)$ в виде $\cos (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (- b))$

Этап 4.1.2

Так как $\sin (- b)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- b)$ в виде $- \sin (b)$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) - \sin (a) (- \sin (b)))$

Этап 4.1.3

Умножим $- \sin (a) (- \sin (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + 1 \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.1.3.2

Умножим $\sin (a)$ на $1$ .

$(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) \cdot (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.2

Развернем $(\cos (a) \cos (b) - \sin (a) \sin (b)) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b) + \sin (a) \sin (b))$

Этап 4.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.3

Объединим противоположные члены в $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b)) - \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Изменим порядок множителей в членах $\cos (a) \cos (b) (\sin (a) \sin (b))$ и $- \sin (a) \sin (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.3.2

Вычтем $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ из $\cos (a) \cos (b) \sin (a) \sin (b)$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) + 0 - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.3.3

Добавим $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ и $0$ .

$\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $\cos (a) \cos (b) (\cos (a) \cos (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1.1

Возведем $\cos (a)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4.1.2

Возведем $\cos (a)$ в степень $1$ .

$\cos^{1} (a) \cos^{1} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

${\cos (a)}^{1 + 1} \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos (b) \cos (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4.1.5

Возведем $\cos (b)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4.1.6

Возведем $\cos (b)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (a) (\cos^{1} (b) \cos^{1} (b)) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4.1.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (a) {\cos (b)}^{1 + 1} - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4.1.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$

Этап 4.4.2

Умножим $- \sin (a) \sin (b) (\sin (a) \sin (b))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin (a)) \sin (b) \sin (b)$

Этап 4.4.2.2

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - (\sin^{1} (a) \sin^{1} (a)) \sin (b) \sin (b)$

Этап 4.4.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - {\sin (a)}^{1 + 1} \sin (b) \sin (b)$

Этап 4.4.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin (b) \sin (b)$

Этап 4.4.2.5

Возведем $\sin (b)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin (b))$

Этап 4.4.2.6

Возведем $\sin (b)$ в степень $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{1} (b) \sin^{1} (b))$

Этап 4.4.2.7

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) {\sin (b)}^{1 + 1}$

Этап 4.4.2.8

Добавим $1$ и $1$ .

$\cos^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Этап 5

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$(1 - \sin^{2} (a)) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Этап 6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Этап 7

Умножим ${\cos (b)}^{2}$ на $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Этап 8

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем множитель $- \sin^{2} (a)$ из $- \sin^{2} (a) \cos^{2} (b)$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$

Этап 8.2

Вынесем множитель $- \sin^{2} (a)$ из $- \sin^{2} (a) \sin^{2} (b)$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$

Этап 8.3

Вынесем множитель $- \sin^{2} (a)$ из $- \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b)) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b))$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\cos^{2} (b) + \sin^{2} (b))$

Этап 8.4

Переставляем члены.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) (\sin^{2} (b) + \cos^{2} (b))$

Этап 8.5

Применим формулу Пифагора.

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a) \cdot 1$

Этап 9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$

Этап 10

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos (a + b) \cdot \cos (a - b) = \cos^{2} (b) - \sin^{2} (a)$ — тождество