Тригонометрия Примеры

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x))$

Этап 2.1.2

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot {(\frac{1}{\sin (x)})}^{2})$

Этап 2.1.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)})$

Этап 2.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot \frac{1}{\sin^{2} (x)})$

Этап 2.1.5

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ .

$\cos (x) (\frac{1}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)})$

Этап 2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.3

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель.

$\cos (x) \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.3.2

Перепишем это выражение.

$1 + \cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4

Умножим $\cos (x) \frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Объединим $\cos (x)$ и $\frac{\cos (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$1 + \frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin^{2} (x)}$

Этап 2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos (x) (\sec (x) + \cos (x) \cdot \csc^{2} (x)) = \csc^{2} (x)$ — тождество