Тригонометрия Примеры

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)} = \frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (A)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)}$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (A)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\sec (A) + \csc (A)}$

Этап 2.3

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (A)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \csc (A)}$

Этап 2.4

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (A)$ .

$\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (A) \sin (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$ на $\frac{\cos (A) \sin (A)}{\cos (A) \sin (A)}$ .

$\frac{\cos (A) \sin (A)}{\cos (A) \sin (A)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)}}{\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{\cos (A) \sin (A) (\frac{1}{\cos (A)} - \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) (\frac{1}{\cos (A)} + \frac{1}{\sin (A)})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $\cos (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $\cos (A)$ из $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\cos (A) (\sin (A)) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) (- \frac{1}{\sin (A)})}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель $\sin (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{\sin (A)}$ в числитель.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{- 1}{\sin (A)}}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{- 1}{\sin (A)}}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $\cos (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $\cos (A)$ из $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) (\sin (A)) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\cos (A) \sin (A) \frac{1}{\cos (A)} + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \cos (A) \sin (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель $\sin (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \sin (A) \cos (A) \frac{1}{\sin (A)}}$

Этап 3.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{\sin (A) + \cos (A) \cdot - 1}{\sin (A) + \cos (A)}$

Этап 3.4

Упростим числитель.

$\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\sin (A) + \cos (A)}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\cos (A) + \sin (A)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{\sin (A) - \cos (A)}{\cos (A) + \sin (A)}$ в виде $\frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$ .

$\frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sec (A) - \csc (A)}{\sec (A) + \csc (A)} = \frac{\tan (A) - 1}{\tan (A) + 1}$ — тождество