Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A)$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\cot (A)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 2.2

Чтобы записать $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$

Этап 2.3

Чтобы записать $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

Этап 2.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)}$ на $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$

Этап 2.4.2

Умножим $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ на $\frac{1 - \cos (A)}{1 - \cos (A)}$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{(1 - \cos (A)) \sin (A)} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.4.3

Изменим порядок множителей в $(1 - \cos (A)) \sin (A)$ .

$\frac{\sin (A) \sin (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))} - \frac{\cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\sin (A) \sin (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1.1

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (A) \sin (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.1.2

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (A) \sin^{1} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.1.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (A)}^{1 + 1} - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.1.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) (1 - \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) \cdot 1 - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) - \cos (A) (- \cos (A))}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.4

Умножим $- \cos (A) (- \cos (A))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + 1 \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.4.2

Умножим $\cos (A)$ на $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.4.3

Возведем $\cos (A)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.4.4

Возведем $\cos (A)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{1} (A) \cos^{1} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.4.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + {\cos (A)}^{1 + 1}}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.4.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.5

Перепишем $\sin^{2} (A) - \cos (A) + \cos^{2} (A)$ в разложенном на множители виде.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Переставляем члены.

$\frac{- \cos (A) + \sin^{2} (A) + \cos^{2} (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.6.5.2

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cos (A) + 1}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $- \cos (A) + 1$ и $1 - \cos (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Изменим порядок членов.

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.7.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - \cos (A)}{\sin (A) (1 - \cos (A))}$

Этап 2.7.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sin (A)}$

Этап 3

Перепишем $\frac{1}{\sin (A)}$ в виде $\csc (A)$ .

$\csc (A)$

Этап 4

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (A)}{1 - \cos (A)} - \cot (A) = \csc (A)$ — тождество