Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y) = \frac{1}{1 + \cos (y)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y)$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\csc (y)$ через синусы и косинусы.

${(\frac{1}{\sin (y)})}^{2} - \csc (y) \cot (y)$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (y)} - \csc (y) \cot (y)$

Этап 2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \csc (y) \cot (y)$

Этап 2.4

Выразим $\csc (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{1}{\sin (y)} \cot (y)$

Этап 2.5

Выразим $\cot (y)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{1}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$

Этап 2.6

Умножим $- \frac{1}{\sin (y)} \cdot \frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Умножим $\frac{\cos (y)}{\sin (y)}$ на $\frac{1}{\sin (y)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin (y) \sin (y)}$

Этап 2.6.2

Возведем $\sin (y)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{1} (y) \sin (y)}$

Этап 2.6.3

Возведем $\sin (y)$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{1} (y) \sin^{1} (y)}$

Этап 2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{{\sin (y)}^{1 + 1}}$

Этап 2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (y)} - \frac{\cos (y)}{\sin^{2} (y)}$

Этап 3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \cos (y)}{\sin^{2} (y)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \cos (y)}{1 - \cos^{2} (y)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1 - \cos (y)}{1^{2} - {\cos (y)}^{2}}$

Этап 5.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (y)$ .

$\frac{1 - \cos (y)}{(1 + \cos (y)) (1 - \cos (y))}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $1 - \cos (y)$ .

$\frac{1}{1 + \cos (y)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\csc^{2} (y) - \csc (y) \cot (y) = \frac{1}{1 + \cos (y)}$ — тождество