Тригонометрия Примеры

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\cot (x)}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Этап 2.2

Выразим $\cot (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} + 1$

Этап 2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + 1$

Этап 2.4

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\cos (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Этап 2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Этап 2.5.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Этап 2.5.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\cos (x)}^{1 + 1}}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Этап 2.5.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin (x) \sin (x)} + 1$

Этап 2.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin (x)} + 1$

Этап 2.6.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)} + 1$

Этап 2.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos^{2} (x)}{{\sin (x)}^{1 + 1}} + 1$

Этап 2.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)} + 1$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + 1$

Этап 4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x)) + {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде $\csc^{2} (x)$ .

$\csc^{2} (x)$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\csc^{2} (x) = \frac{\cot (x)}{\tan (x)} + 1$ — тождество