Тригонометрия Примеры

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Этап 1

Начнем с правой части.

$\csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - \sec^{2} (x)$

Этап 2.2

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

${(\frac{1}{\sin (x)})}^{2} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 2.4

Применим правило умножения к $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (x)} - \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Упростим каждый член.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Вычтем дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы записать $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4.2

Чтобы записать $- \frac{1}{\cos^{2} (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (x)} \cdot \frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $\frac{1}{\sin^{2} (x)}$ на $\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{1}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ на $\frac{\sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 4.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\frac{\cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)} - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 4.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 5

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \cos (x)$ и $b = \sin (x)$ .

$\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{(\cos (x) + \sin (x)) (\cos (x) - \sin (x))}{\cos^{2} (x) \sin^{2} (x)}$ в виде $\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)}$ .

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cot (x) - \tan (x)}{\sin (x) \cdot \cos (x)} = \csc^{2} (x) - \sec^{2} (x)$ — тождество