Тригонометрия Примеры

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Этап 2

Вынесем множитель $\cos^{2} (x)$ из $\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим на $1$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Этап 2.2

Вынесем множитель $\cos^{2} (x)$ из $- 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Этап 2.3

Вынесем множитель $\cos^{2} (x)$ из $\cos^{2} (x) \cdot 1 + \cos^{2} (x) (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$\cos^{2} (x) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$(1 - \sin^{2} (x)) (1 - 2 \sin^{2} (x)) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Развернем $(1 - {\sin (x)}^{2}) (1 - 2 {\sin (x)}^{2})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} (1 - 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cdot 1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$1 + 1 (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.2

Умножим $- 2 {\sin (x)}^{2}$ на $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} \cdot 1 - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} (- 2 {\sin (x)}^{2}) - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.4

Умножим ${\sin (x)}^{2}$ на ${\sin (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1.4.1

Перенесем ${\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - ({\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2}) \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2 + 2} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.4.3

Добавим $2$ и $2$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{4} \cdot - 2 - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.2.1.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$1 - 2 {\sin (x)}^{2} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.1.2.2

Вычтем ${\sin (x)}^{2}$ из $- 2 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 - 3 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4} - {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.2

Вычтем ${\sin (x)}^{2}$ из $- 3 {\sin (x)}^{2}$ .

$1 + 2 {\sin (x)}^{4} - 4 {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{4}$

Этап 4.3

Добавим $2 {\sin (x)}^{4}$ и $2 {\sin (x)}^{4}$ .

$1 + 4 \sin^{4} (x) - 4 \sin^{2} (x)$

Этап 5

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Переставляем члены.

$1 - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Этап 5.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + 4 \sin^{4} (x)$

Этап 5.3

Перепишем $4 \sin^{4} (x)$ в виде ${(2 \sin^{2} (x))}^{2}$ .

$1^{2} - 4 \sin^{2} (x) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Этап 5.4

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x))$

Этап 5.5

Перепишем многочлен.

$1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot (2 \sin^{2} (x)) + {(2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Этап 5.6

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = 1$ и $b = 2 \sin^{2} (x)$ .

${(1 - 2 \sin^{2} (x))}^{2}$

Этап 6

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\cos^{2} (2 x)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\cos^{2} (x) - 2 \sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x) + 2 \sin^{4} (x) = \cos^{2} (2 x)$ — тождество