Тригонометрия Примеры

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$

Этап 2

Умножим $\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1}$ на $\frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$ .

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} \cdot \frac{- \csc (A) + 1}{- \csc (A) + 1}$

Этап 3

Объединим.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A) + 1)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A) \cdot 1}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Этап 4.2

Умножим $\cot (A)$ на $1$ .

$\frac{\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Этап 4.3

Изменим порядок множителей в $\cot (A) (- \csc (A)) + \cot (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)}$

Этап 5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $(\csc (A) + 1) (- \csc (A) + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A) + 1) + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Этап 5.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A) + 1)}$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{\csc (A) (- \csc (A)) + \csc (A) \cdot 1 + 1 (- \csc (A)) + 1 \cdot 1}$

Этап 5.2

Упростим и объединим подобные члены.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) + 1}$

Этап 6

Применим формулу Пифагора.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (A)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A)) + 1}$

Этап 6.2

Перепишем $1$ в виде $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1}$

Этап 6.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- \csc^{2} (A) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- (\csc^{2} (A) - 1)}$

Этап 6.4

Применим формулу Пифагора.

$\frac{- \cot (A) \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Этап 7

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Запишем $\cot (A)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \csc (A) + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Этап 7.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (A)$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \cot (A)}{- \cot^{2} (A)}$

Этап 7.3

Запишем $\cot (A)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \cot^{2} (A)}$

Этап 7.4

Запишем $\cot (A)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- {(\frac{\cos (A)}{\sin (A)})}^{2}}$

Этап 7.5

Применим правило умножения к $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$\frac{- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}}{- \frac{\cos^{2} (A)}{\sin^{2} (A)}}$

Этап 8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.2

Умножим $- \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{1}{\sin (A)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Умножим $\frac{1}{\sin (A)}$ на $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{\sin (A) \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.2.2

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.2.3

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.3

Чтобы записать $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A)}{\sin (A)} \cdot \frac{\sin (A)}{\sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.4

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${\sin (A)}^{2}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Умножим $\frac{\cos (A)}{\sin (A)}$ на $\frac{\sin (A)}{\sin (A)}$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{\sin (A) \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.4.2

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} \sin (A)}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.4.3

Возведем $\sin (A)$ в степень $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1} {\sin (A)}^{1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{1 + 1}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$(- \frac{\cos (A)}{{\sin (A)}^{2}} + \frac{\cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}}) (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.6

Вынесем множитель $\cos (A)$ из $- \cos (A) + \cos (A) \sin (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Вынесем множитель $\cos (A)$ из $- \cos (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.6.2

Вынесем множитель $\cos (A)$ из $\cos (A) \sin (A)$ .

$\frac{\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.6.3

Вынесем множитель $\cos (A)$ из $\cos (A) \cdot - 1 + \cos (A) (\sin (A))$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} (- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}})$

Этап 8.7

Сократим общий множитель $\cos (A)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.7.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{{\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$ в числитель.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{{\cos (A)}^{2}}$

Этап 8.7.2

Вынесем множитель $\cos (A)$ из ${\cos (A)}^{2}$ .

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Этап 8.7.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (A) (- 1 + \sin (A))}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A) \cos (A)}$

Этап 8.7.4

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{- {\sin (A)}^{2}}{\cos (A)}$

Этап 8.8

Сократим общий множитель ${\sin (A)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.8.1

Вынесем множитель ${\sin (A)}^{2}$ из $- {\sin (A)}^{2}$ .

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Этап 8.8.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1 + \sin (A)}{{\sin (A)}^{2}} \cdot \frac{{\sin (A)}^{2} \cdot - 1}{\cos (A)}$

Этап 8.8.3

Перепишем это выражение.

$(- 1 + \sin (A)) \frac{- 1}{\cos (A)}$

Этап 8.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(- 1 + \sin (A)) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Этап 8.10

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 (- \frac{1}{\cos (A)}) + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Этап 8.11

Умножим $- 1 (- \frac{1}{\cos (A)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Этап 8.11.2

Умножим $\frac{1}{\cos (A)}$ на $1$ .

$\frac{1}{\cos (A)} + \sin (A) (- \frac{1}{\cos (A)})$

Этап 8.12

Объединим $\sin (A)$ и $\frac{1}{\cos (A)}$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Этап 9

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\sec (A) - \tan (A)$

Этап 10

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (A)$ .

$\frac{1}{\cos (A)} - \tan (A)$

Этап 10.2

Запишем $\tan (A)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{1}{\cos (A)} - \frac{\sin (A)}{\cos (A)}$

Этап 11

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\cot (A)}{\csc (A) + 1} = \sec (A) - \tan (A)$ — тождество