Тригонометрия Примеры

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 \tan^{2} (x) + 1$

Этап 2.2

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{4} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

Этап 2.3

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} + 1$

Этап 2.4

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{4} (x)}{\cos^{4} (x)} + 2 \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + 1$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $2$ и $\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Этап 3.2

Чтобы записать $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} \cdot \frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} + 1$

Этап 3.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем ${\cos (x)}^{4}$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $\frac{2 {\sin (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ на $\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}} + 1$

Этап 3.3.2

Умножим ${\cos (x)}^{2}$ на ${\cos (x)}^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2 + 2}} + 1$

Этап 3.3.2.2

Добавим $2$ и $2$ .

$\frac{{\sin (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Этап 3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Этап 3.5

Вынесем множитель ${\sin (x)}^{2}$ из ${\sin (x)}^{4} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель ${\sin (x)}^{2}$ из ${\sin (x)}^{4}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + 2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель ${\sin (x)}^{2}$ из $2 {\sin (x)}^{2} {\cos (x)}^{2}$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель ${\sin (x)}^{2}$ из ${\sin (x)}^{2} {\sin (x)}^{2} + {\sin (x)}^{2} (2 {\cos (x)}^{2})$ .

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + 1$

Этап 3.6

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2})}{{\cos (x)}^{4}} + \frac{{\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

Этап 3.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2} ({\sin (x)}^{2} + 2 {\cos (x)}^{2}) + {\cos (x)}^{4}}{{\cos (x)}^{4}}$

Этап 3.8

Упростим числитель.

$\frac{{(\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}^{2}}{\cos^{4} (x)}$

Этап 4

Применим формулу Пифагора.

$\frac{1^{2}}{\cos^{4} (x)}$

Этап 5

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Этап 6

Перепишем $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ в виде $\sec^{4} (x)$ .

$\sec^{4} (x)$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 1 = \sec^{4} (x)$ — тождество