Тригонометрия Примеры

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$1 - \tan^{2} (x)$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (x)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$1 - {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2}$

Этап 2.2

Применим правило умножения к $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 - \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 - \frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 - \frac{1^{2} - {\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \cos (x)$ .

$1 - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\cos (x)}^{2}}{{\cos (x)}^{2}} - \frac{(1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\cos (x)}^{2} - (1 + \cos (x)) (1 - \cos (x))}{{\cos (x)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{2 \cos^{2} (x) - 1}{\cos^{2} (x)}$

Этап 5

Применим формулу двойного угла для косинуса.

$\frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$1 - \tan^{2} (x) = \frac{\cos (2 x)}{\cos^{2} (x)}$ — тождество