Тригонометрия Примеры

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)}$

Этап 2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$

Этап 2.2

Перепишем $\frac{1^{2}}{\tan^{2} (x)}$ в виде ${(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$ .

$1 + {(\frac{1}{\tan (x)})}^{2}$

Этап 2.3

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$1 + {(\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}})}^{2}$

Этап 2.4

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + {(1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.5

Запишем $1$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$1 + {(\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Перепишем это выражение.

$1 + {(1 \frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.6.2

Умножим $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ на $1$ .

$1 + {(\frac{\cos (x)}{\sin (x)})}^{2}$

Этап 2.7

Применим правило умножения к $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$1 + \frac{\cos^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$1 + \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\sin^{2} (x)}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$1 + \frac{1^{2} - {\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \sin (x)$ .

$1 + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2}}{{\sin (x)}^{2}} + \frac{(1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{{\sin (x)}^{2} + (1 + \sin (x)) (1 - \sin (x))}{{\sin (x)}^{2}}$

Этап 4.4

Упростим числитель.

$\frac{1}{\sin^{2} (x)}$

Этап 5

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$1 + \frac{1}{\tan^{2} (x)} = \frac{1}{\sin^{2} (x)}$ — тождество