Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)} = \sec (x) - \cos (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)}$

Этап 2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Выразим $\csc (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\tan (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 2.2

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Этап 2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 2.4

Запишем $\sin (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Разделим $\sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \sin (x)$

Этап 2.5.2

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.6.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Этап 2.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Этап 2.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 3

Применим формулу Пифагора в обратном направлении.

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\sec (x) - \cos (x)$

Этап 5

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} - \cos (x)$

Этап 6

Запишем $- \cos (x)$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{1}$

Этап 7

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $\frac{- \cos (x)}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{- \cos (x)}{1}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 - \cos (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 8

Умножим $- \cos (x) \cos (x)$ .

$\frac{1 - \cos^{2} (x)}{\cos (x)}$

Этап 9

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan (x)}{\csc (x)} = \sec (x) - \cos (x)$ — тождество