Тригонометрия Примеры

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)} = \frac{\tan (b)}{\cot (a)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)}$

Этап 2

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Запишем $\tan (a)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)}$

Этап 2.2

Запишем $\tan (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\cot (b) - \cot (a)}$

Этап 2.3

Запишем $\cot (b)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \cot (a)}$

Этап 2.4

Запишем $\cot (a)$ в терминах синусов и косинусов, используя тождество для частного.

$\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Умножим $\frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$ на $\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}$ .

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)} \cdot \frac{\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)}}{\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)}}$

Этап 3.1.2

Объединим.

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (\frac{\sin (a)}{\cos (a)} - \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (\frac{\cos (b)}{\sin (b)} - \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3

Упростим путем сокращения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Сократим общий множитель $\cos (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Вынесем множитель $\cos (a)$ из $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ .

$\frac{\cos (a) (\cos (b) \sin (b) \sin (a)) \frac{\sin (a)}{\cos (a)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.1.2

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (b) \sin (b) \sin (a) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.2

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) ({\sin (a)}^{1} \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.3

Возведем $\sin (a)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) ({\sin (a)}^{1} {\sin (a)}^{1}) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{1 + 1} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\sin (b)}{\cos (b)})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.6

Сократим общий множитель $\cos (b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.6.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sin (b)}{\cos (b)}$ в числитель.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{- \sin (b)}{\cos (b)}}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.6.2

Вынесем множитель $\cos (b)$ из $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (b) (\cos (a) \sin (b) \sin (a)) \frac{- \sin (b)}{\cos (b)}}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.6.3

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (b) \sin (a) (- \sin (b))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.7

Возведем $\sin (b)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- ({\sin (b)}^{1} \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.8

Возведем $\sin (b)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- ({\sin (b)}^{1} {\sin (b)}^{1}))}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.9

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{1 + 1})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.10

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.11

Сократим общий множитель $\sin (b)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.11.1

Вынесем множитель $\sin (b)$ из $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\sin (b) (\cos (a) \cos (b) \sin (a)) \frac{\cos (b)}{\sin (b)} + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.11.2

Сократим общий множитель.

Этап 3.3.11.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) \cos (b) \sin (a) \cos (b) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.12

Возведем $\cos (b)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) ({\cos (b)}^{1} \cos (b)) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.13

Возведем $\cos (b)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) ({\cos (b)}^{1} {\cos (b)}^{1}) \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.14

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{1 + 1} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.15

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) (- \frac{\cos (a)}{\sin (a)})}$

Этап 3.3.16

Сократим общий множитель $\sin (a)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.16.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\cos (a)}{\sin (a)}$ в числитель.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

Этап 3.3.16.2

Вынесем множитель $\sin (a)$ из $\cos (a) \cos (b) \sin (b) \sin (a)$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \sin (a) (\cos (a) \cos (b) \sin (b)) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

Этап 3.3.16.3

Сократим общий множитель.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \sin (a) (\cos (a) \cos (b) \sin (b)) \frac{- \cos (a)}{\sin (a)}}$

Этап 3.3.16.4

Перепишем это выражение.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (a) \cos (b) \sin (b) (- \cos (a))}$

Этап 3.3.17

Возведем $\cos (a)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- ({\cos (a)}^{1} \cos (a)))}$

Этап 3.3.18

Возведем $\cos (a)$ в степень $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- ({\cos (a)}^{1} {\cos (a)}^{1}))}$

Этап 3.3.19

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{1 + 1})}$

Этап 3.3.20

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $\sin (b) \sin (a)$ из $\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2} + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $\sin (b) \sin (a)$ из $\cos (b) \sin (b) {\sin (a)}^{2}$ .

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $\sin (b) \sin (a)$ из $\cos (a) \sin (a) (- {\sin (b)}^{2})$ .

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \sin (b) \sin (a) (\cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $\sin (b) \sin (a)$ из $\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a)) + \sin (b) \sin (a) (\cos (a) (- \sin (b)))$ .

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $\cos (a) \cos (b)$ из $\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Вынесем множитель $\cos (a) \cos (b)$ из $\cos (a) {\cos (b)}^{2} \sin (a)$ .

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})}$

Этап 3.5.2

Вынесем множитель $\cos (a) \cos (b)$ из $\cos (b) \sin (b) (- {\cos (a)}^{2})$ .

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (b) (- \cos (a)))}$

Этап 3.5.3

Вынесем множитель $\cos (a) \cos (b)$ из $\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a)) + \cos (a) \cos (b) (\sin (b) (- \cos (a)))$ .

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) + \cos (a) (- \sin (b)))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a) + \sin (b) (- \cos (a)))}$

Этап 3.6

Изменим порядок членов.

$\frac{\sin (b) \sin (a) (\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \cos (a) \sin (b))}{\cos (a) \cos (b) (\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \sin (b) \cos (a))}$

Этап 3.7

Сократим общий множитель $\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \cos (a) \sin (b)$ и $\cos (b) \sin (a) - 1 \cdot \sin (b) \cos (a)$ .

$\frac{\sin (b) \sin (a)}{\cos (a) \cos (b)}$

Этап 4

Изменим порядок членов.

$\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \cos (b)}$

Этап 5

Перепишем $\frac{\sin (a) \sin (b)}{\cos (a) \cos (b)}$ в виде $\frac{\tan (b)}{\cot (a)}$ .

$\frac{\tan (b)}{\cot (a)}$

Этап 6

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\tan (a) - \tan (b)}{\cot (b) - \cot (a)} = \frac{\tan (b)}{\cot (a)}$ — тождество