Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \sec (x) + \csc (x)$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 2

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 3

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\sec (x) + \csc (x)$

Этап 4

Преобразуем к синусам и косинусам.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим взаимно обратное тождество к $\sec (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \csc (x)$

Этап 4.2

Применим взаимно обратное тождество к $\csc (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} + \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы записать $\frac{1}{\cos (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)}$

Этап 5.2

Чтобы записать $\frac{1}{\sin (x)}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 5.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $\cos (x) \sin (x)$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 5.3.2

Умножим $\frac{1}{\sin (x)}$ на $\frac{\cos (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\sin (x) \cos (x)}$

Этап 5.3.3

Изменим порядок множителей в $\sin (x) \cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \sin (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 5.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 6

Изменим порядок членов.

$\frac{\cos (x) + \sin (x)}{\cos (x) \sin (x)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x) + \cos (x)}{\sin (x) \cos (x)} = \sec (x) + \csc (x)$ — тождество