Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)} = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)}$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x + y)}$

Этап 3

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\sin (x) \cos (- y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Этап 4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Так как $\cos (- y)$ — четная функция, перепишем $\cos (- y)$ в виде $\cos (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (- y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Этап 4.2

Так как $\sin (- y)$ — нечетная функция, перепишем $\sin (- y)$ в виде $- \sin (y)$ .

$\frac{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) (- \sin (y))}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Этап 4.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\sin (x) \cos (y) - \cos (x) \sin (y)}{\sin (x) \cos (y) + \cos (x) \sin (y)}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \cos (x) \sin (y)$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) + \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Этап 5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (y) \sin (x)$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\cos (x) \sin (y)) - (- \cos (y) \sin (x))$ .

$\frac{- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Этап 5.4

Перепишем $- (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ в виде $- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))$ .

$\frac{- 1 (\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x))}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Этап 5.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$

Этап 6

Перепишем $- \frac{\cos (x) \sin (y) - \cos (y) \sin (x)}{\cos (x) \sin (y) + \cos (y) \sin (x)}$ в виде $\frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$ .

$\frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$

Этап 7

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x - y)}{\sin (x + y)} = \frac{\tan (x) - \tan (y)}{\tan (x) + \tan (y)}$ — тождество