Тригонометрия Примеры

$\frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h} = \cos (x) (\frac{\sin (h)}{h}) - \sin (x) \frac{1 - \cos (h)}{h}$

Этап 1

Начнем с левой части.

$\frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h}$

Этап 2

Применим формулу для суммы углов.

$\frac{\sin (x) \cos (h) + \cos (x) \sin (h) - \sin (x)}{h}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x)) + \cos (h) \sin (x) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (h) \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - (- \cos (h) \sin (x)) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x)) - (- \cos (h) \sin (x))$ .

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (x) \sin (h)$ .

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) - (- \cos (x) \sin (h))}{h}$

Этап 3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) - (- \cos (x) \sin (h))$ .

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))}{h}$

Этап 3.6

Перепишем $- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))$ в виде $- 1 (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))$ .

$\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))}{h}$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h)}{h}$

Этап 4

Теперь рассмотрим правую часть уравнения.

$\cos (x) (\frac{\sin (h)}{h}) - \sin (x) \frac{1 - \cos (h)}{h}$

Этап 5

Упростим каждый член.

$\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h} + \frac{\sin (x) \cos (h)}{h}$

Этап 6

Запишем $\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}}{1} + \frac{\sin (x) \cos (h)}{h}$

Этап 7

Сложим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы записать $\frac{\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}}{1}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{h}{h}$ .

$\frac{\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}}{1} \cdot \frac{h}{h} + \frac{\sin (x) \cos (h)}{h}$

Этап 7.2

Умножим $\frac{\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}}{1}$ на $\frac{h}{h}$ .

$\frac{(\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}) h}{h} + \frac{\sin (x) \cos (h)}{h}$

Этап 7.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(\frac{\cos (x) \sin (h)}{h} - \frac{\sin (x)}{h}) h + \sin (x) \cos (h)}{h}$

Этап 8

Упростим каждый член.

$\frac{\cos (x) \sin (h) - \sin (x) + \sin (x) \cos (h)}{h}$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x)) + \cos (h) \sin (x) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Этап 9.2

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (h) \sin (x)$ .

$\frac{- (\sin (x)) - (- \cos (h) \sin (x)) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Этап 9.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x)) - (- \cos (h) \sin (x))$ .

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) + \cos (x) \sin (h)}{h}$

Этап 9.4

Вынесем множитель $- 1$ из $\cos (x) \sin (h)$ .

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) - (- \cos (x) \sin (h))}{h}$

Этап 9.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x)) - (- \cos (x) \sin (h))$ .

$\frac{- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))}{h}$

Этап 9.6

Перепишем $- (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))$ в виде $- 1 (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))$ .

$\frac{- 1 (\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h))}{h}$

Этап 9.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{\sin (x) - \cos (h) \sin (x) - \cos (x) \sin (h)}{h}$

Этап 10

Поскольку была показана эквивалентность обеих сторон, уравнение является тождеством.

$\frac{\sin (x + h) - \sin (x)}{h} = \cos (x) (\frac{\sin (h)}{h}) - \sin (x) \frac{1 - \cos (h)}{h}$ — тождество