Тригонометрия Примеры

$\frac{2 \tan (\frac{π}{8})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1

Точное значение $\tan (\frac{π}{8})$ : $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Представим $\frac{π}{8}$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$\frac{2 \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{2 (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку тангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$\frac{2 \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.9

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.10

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.11

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.12

Упростим.

$\frac{2 \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.15

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.2

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.16.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.16.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.16.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.16.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.4

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.16.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.16.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.4.4.4

Разделим $\sqrt{2} - 1$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.16.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.17

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 1.4.18

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1^{2} - \tan^{2} (\frac{π}{8})}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = \tan (\frac{π}{8})$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \tan (\frac{π}{8})) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Точное значение $\tan (\frac{π}{8})$ : $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 \pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку тангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.9

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.10

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.11

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.12

Упростим.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.15

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.2

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.16.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.16.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.16.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.16.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.4

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.16.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.4.16.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.4.4.4

Разделим $\sqrt{2} - 1$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.16.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.17

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.1.4.18

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{π}{8}))}$

Этап 2.3.2

Точное значение $\tan (\frac{π}{8})$ : $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2}))}$

Этап 2.3.2.2

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}))}$

Этап 2.3.2.3

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку тангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}$

Этап 2.3.2.4

Упростим $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}$

Этап 2.3.2.4.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}$

Этап 2.3.2.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})}$

Этап 2.3.2.4.4

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}})}$

Этап 2.3.2.4.5

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}})}$

Этап 2.3.2.4.6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}})}$

Этап 2.3.2.4.7

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}})}$

Этап 2.3.2.4.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.8.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}})}$

Этап 2.3.2.4.8.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}})}$

Этап 2.3.2.4.9

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})})}$

Этап 2.3.2.4.10

Умножим $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ на $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}})}$

Этап 2.3.2.4.11

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}})}$

Этап 2.3.2.4.12

Упростим.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.13

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.14

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.14.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.14.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.15

Объединим $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ и $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.2

Умножим $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.16.2.1

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.2.2

Возведем $\sqrt{2}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.2.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.16.3.1

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.16.3.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.3.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.3.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.3.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.16.3.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.3.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.3.1.5

Найдем экспоненту.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.4

Сократим общий множитель $2 \sqrt{2} - 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.16.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.4.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}})}$

Этап 2.3.2.4.16.4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.4.16.4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}})}$

Этап 2.3.2.4.16.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}})}$

Этап 2.3.2.4.16.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}})}$

Этап 2.3.2.4.16.4.4.4

Разделим $\sqrt{2} - 1$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)})}$

Этап 2.3.2.4.16.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1})}$

Этап 2.3.2.4.16.6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1})}$

Этап 2.3.2.4.17

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}})}$

Этап 2.3.2.4.18

Вычтем $\sqrt{2}$ из $- \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Этап 3

Развернем $(1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Этап 4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $1$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 + 1 (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}) + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Этап 4.1.2

Умножим $- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Этап 4.1.3

Умножим $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ на $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Этап 4.1.4

Умножим $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Возведем $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - ({\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}$

Этап 4.1.4.2

Возведем $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ в степень $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - ({\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{1})}$

Этап 4.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{1 + 1}}$

Этап 4.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

Этап 4.1.5

Перепишем ${\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}^{2}$ в виде $3 - 2 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ в виде ${(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {({(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.1.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.1.5.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.1.5.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - {(3 - 2 \sqrt{2})}^{1}}$

Этап 4.1.5.5

Упростим.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - (3 - 2 \sqrt{2})}$

Этап 4.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - 1 \cdot 3 - (- 2 \sqrt{2})}$

Этап 4.1.7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - 3 - (- 2 \sqrt{2})}$

Этап 4.1.8

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - 3 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 4.2

Вычтем $3$ из $1$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 2 - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 2 \sqrt{2}}$

Этап 4.3

Добавим $- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ и $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 2 + 0 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 4.4

Добавим $- 2$ и $0$ .

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 5

Сократим общий множитель $2$ и $- 2 + 2 \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{- 2 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot - 1 + 2 \sqrt{2}}$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{2})}$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 \cdot - 1 + 2 (\sqrt{2})$ .

$\frac{2 (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}})}{2 \cdot (- 1 + \sqrt{2})}$

Этап 5.2.4

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{2 \cdot (- 1 + \sqrt{2})}$

Этап 5.2.5

Перепишем это выражение.

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$

Этап 6

Умножим $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$ на $\frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}} \cdot \frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$

Этап 7

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}}{- 1 + \sqrt{2}}$ на $\frac{- 1 - \sqrt{2}}{- 1 - \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{(- 1 + \sqrt{2}) (- 1 - \sqrt{2})}$

Этап 7.2

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{1 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot - 1 - {\sqrt{2}}^{2}}$

Этап 7.3

Упростим.

$\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{- 1}$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$

Этап 7.4.2

Перепишем $- 1 \cdot (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$ в виде $- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$ .

$- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- 1 - \sqrt{2}))$

Этап 7.5

Применим свойство дистрибутивности.

$- (\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} \cdot - 1 + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{2}))$

Этап 7.6

Перенесем $- 1$ влево от $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$- (- 1 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} (- \sqrt{2}))$

Этап 7.7

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$- (- 1 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Этап 8

Перепишем $- 1 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ в виде $- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

$- (- \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

Этап 9

Применим свойство дистрибутивности.

$- - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Этап 10

Умножим $- - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Этап 10.2

Умножим $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ на $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Этап 11

Умножим $- - \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + 1 \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Этап 11.2

Умножим $\sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ на $1$ .

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 - 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

Десятичная форма:

$1.000000000000 \dots$