Тригонометрия Примеры

$\frac{3}{\tan (67.5)}$

Этап 1

Разделим дроби.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\tan (67.5)}$

Этап 2

Выразим $\tan (67.5)$ через синусы и косинусы.

$\frac{3}{1} \cdot \frac{1}{\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}}$

Этап 3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{\sin (67.5)}{\cos (67.5)}$ .

$\frac{3}{1} \cdot \frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$

Этап 4

Переведем $\frac{\cos (67.5)}{\sin (67.5)}$ в $\cot (67.5)$ .

$\frac{3}{1} \cot (67.5)$

Этап 5

Разделим $3$ на $1$ .

$3 \cot (67.5)$

Этап 6

Точное значение $\cot (67.5)$ : $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Представим $67.5$ в виде угла, для которого известны значения шести тригонометрических функций, деленного на $2$ .

$3 \cot (\frac{135}{2})$

Этап 6.2

Применим обратное тождество.

$3 \frac{1}{\tan (\frac{135}{2})}$

Этап 6.3

Применим формулу половинного угла для тангенса.

$3 \frac{1}{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Этап 6.4

Заменим $\pm$ на $+$ , поскольку котангенс принимает положительные значения в первом квадранте.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$

Этап 6.5

Упростим $\frac{1}{\sqrt{\frac{1 - \cos (135)}{1 + \cos (135)}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \cos (45)}{1 + \cos (135)}}}$

Этап 6.5.1.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Этап 6.5.1.3

Умножим $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Этап 6.5.1.3.2

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Этап 6.5.1.4

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Этап 6.5.1.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (135)}}}$

Этап 6.5.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (45)}}}$

Этап 6.5.2.2

Точное значение $\cos (45)$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 6.5.2.3

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 6.5.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

Этап 6.5.3

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Этап 6.5.3.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

Этап 6.5.3.2.2

Перепишем это выражение.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

Этап 6.5.3.3

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

Этап 6.5.3.4

Умножим $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ на $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

Этап 6.5.3.5

Развернем знаменатель, используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

Этап 6.5.3.6

Упростим.

$3 \frac{1}{\sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.8

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.8.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.8.2

Перепишем это выражение.

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.9

Объединим $\sqrt{2}$ и $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.10

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.10.1

Запишем $2$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.10.2

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.10.3

Умножим $\frac{2}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.10.4

Запишем $\sqrt{2}$ в виде дроби со знаменателем $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.10.5

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.10.6

Умножим $\frac{\sqrt{2}}{1}$ на $\frac{2}{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.11

Объединим числители над общим знаменателем.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 2 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.12.1

Умножим $2$ на $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.12.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.12.4

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.12.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.12.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.12.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

Этап 6.5.3.12.6.2

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

Этап 6.5.3.12.6.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{4 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

Этап 6.5.3.13

Добавим $4$ и $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 2 \sqrt{2} + 2 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.14

Добавим $2 \sqrt{2}$ и $2 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{6 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.15

Сократим общий множитель $6 + 4 \sqrt{2}$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.15.1

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 4 \sqrt{2}}{2}}}$

Этап 6.5.3.15.2

Вынесем множитель $2$ из $4 \sqrt{2}$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 \cdot 3 + 2 (2 \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.15.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (3) + 2 (2 \sqrt{2})$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2}}}$

Этап 6.5.3.15.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.15.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 (1)}}}$

Этап 6.5.3.15.4.2

Сократим общий множитель.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{2 (3 + 2 \sqrt{2})}{2 \cdot 1}}}$

Этап 6.5.3.15.4.3

Перепишем это выражение.

$3 \frac{1}{\sqrt{\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{1}}}$

Этап 6.5.3.15.4.4

Разделим $3 + 2 \sqrt{2}$ на $1$ .

$3 \frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Этап 7

Объединим $3$ и $\frac{1}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Этап 8

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

Десятичная форма:

$1.24264068 \dots$